Os Números Triangulares
Comecemos por recolher uma colecção de bolas do mesmo tamanho. Convém que não sejam muito grandes e, se forem bonitas, tanto melhor.
Uma boa escolha é o conjunto das 15 bolas coloridas de "snooker", até porque já trazem um caixilho triangular de madeira. Não é por acaso que as bolas coloridas encaixam perfeitamente num triângulo equilátero com 5 bolas em cada lado. Acontece que quinze é o Número Triangular de ordem cinco, ou T(5)=15.
Procuremos os primeiros Números Triangulares
T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 6
T(1) = 1
T(2) = 3
T(3) = 6
Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora basta ir colocando camadas de bolas no funil:
T(1) = 1 T(2) = T(1) + 2 = 3 T(3) = T(2) + 3 = 6 T(4) = T(3) + 4 = 10 ... Fórmula Recursiva: T(1) = 1T(n+1) = T(n) + (n+1)
...
Fórmula Recursiva: T(1) = 1T(n+1) = T(n) + (n+1)
As fórmulas recursivas têm a sua importância, mas talvez seja melhor procurar uma relação iterativa. Coloquemos agora as ripas num ângulo de 45º:
T(1) = 1 T(2) = 1 + 2 = 3 T(3) = 1 + 2 + 3 = 6 T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ... Fórmula Iterativa: T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n
Fórmula Iterativa: T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n
Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Não negando o devido valor a tal prodígio infantil, convém recordar que este é um dos mais antigos resultados conhecidos da Matemática. Os antigos gregos já o conheciam tendo-o demonstrado, como era seu gosto, por via geométrica.
Teorema T1 (Pitágoras, sec. VI A.C.): 2 * T(n) = n * (n+1)
Um Exemplo: 2 * T(4) = 2 * (1+2+3+4) = 4 * 5 Uma Demonstração: n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 _____________ n * (n+1)
2 * T(4) = 2 * (1+2+3+4) = 4 * 5
n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 _____________ n * (n+1)
Assim obtemos uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n: T(n) = n (n+1) / 2
e provamos também aquela que ficou conhecida como "Fórmula do menino Gauss": 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.
Teorema T2 (Nicómacus, sec. I): T(n) + T(n+1) = (n+1)2
Um Exemplo: T(4) + T(5) = (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = 5 * 5 Uma Demonstração: n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 0 + (n+1) = n+1 _____________ (n+1) * (n+1) = (n+1)2
T(4) + T(5) = (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = 5 * 5
n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 0 + (n+1) = n+1 _____________ (n+1) * (n+1) = (n+1)2
Exercícios:
3 T(n) + T(n-1) = T(2n) 3 T(n) + T(n+1) = T(2n+1) 9 T(n-1) + 3n = T(3n-1)
Uma Aplicação dos Números Triangulares
Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados? O 1º cumprimenta (n-1) 2º (n-2) ... ... (n-1)º 1 nº 0 _______________________ Total de apertos de mão = T(n-1) Se essas n pessoas decidirem organizar um campeonato de snooker, precisarão naturalmente de travar T(n-1) partidas.
O 1º cumprimenta (n-1) 2º (n-2) ... ... (n-1)º 1 nº 0 _______________________ Total de apertos de mão = T(n-1)
por Rosália Rodrigues e Emília Miranda
De "As Formas e os Números"